2022年4月24日日曜日

玉を取り出す色の組み合わせ毎の玉の組み合わせの数

【課題１】
　赤玉３個、白玉３個、黒玉３個、計９個の玉が入った袋がある。この袋から同時に玉を３個取り出す。そうして取り出した３個の玉の色の組み合わせの違い毎に、その色の組み合わせを生じる玉の組み合わせの数を求める。

【解答】
（１）先ず、袋の中の９個の玉から３個の玉を取り出す場合の、３個の玉の組み合わせの総数は、

通りある。
すなわち、３つの玉の組合せを表す事象の連鎖の総数がその数だけある。

（２）次に、取り出した３個の玉の色分けのバラエティを、赤ｍ個、白ｎ個、黒ｔ個という色分け事象の連鎖で表す。そして、総数８４個の事象の連鎖を、その色分け事象の連鎖で分類した枝に分岐させる。すなわち、玉の色分け事象の連鎖の各枝毎に、対応する事象の連鎖の糸を割り当てて編集した以下の樹形図を作成する。

この樹形図から、玉の色の組み合わせのバラエティの数（色分け事象の連鎖の数）は１０通りあることがわかる。

　しかし、各々の玉の色分けの枝（色分け事象の連鎖）に対応する玉の組み合わせの数は、以下に示す通りに、異なっている。
（２－１）３つの玉の色が全て同じ色の場合は、そうなる玉の組み合わせの数は、その色の玉３個の全てを選ぶので、その玉の組み合わせの数は１つである。
（２－２）３つの玉の色が２色の場合は、そうなる玉の組み合わせの数は、同じ色の２つの玉を選ぶバラエティの数の３と、その他の１つの色の玉を選ぶバラエティの数３の積の、９つの玉の組み合わせの数になる。
（２－３）３つの玉の色が全て異なる場合は、赤玉を選ぶバラエティの数の３と、白玉を選ぶバラエティの数の３と、黒玉を選ぶバラエティの数の３の積の、２７の玉の組み合わせの数になる。
（３）このように、３つの玉の色分け毎に、その色分けを生じる玉の組み合わせの数が異なる。
（解答おわり）

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2022年4月3日日曜日

９人をＡ組とＢ組とＣ組に、どの組にも１人以上入るように分ける組合せの数

【問１】
（各人を区別できる）９人をＡ組とＢ組とＣ組に、どの組にも１人以上入るように分ける組合せの数はいくつあるか。

ここをクリックした先にこの問題の解答があります。

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2022年3月26日土曜日

３点が１直線上にある証明

【問１】
　平行四辺形ABCD内の1点Pを通り,各辺に平行線を引き辺AB,CD,BC,DAとの交点を,順にQ,R,S,Tとする。2直線QS,RTが点Oで交わる時,3点O,A,Cは1つの直線上にあることを示せ。

この問題の解答はここをクリックした先にあります。問題の本質を的確に把握して証明する、ベクトルの概念を用いた証明方法を示しました。

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メネラウスの定理の証明：線の垂直線への射影の利用
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2022年3月22日火曜日

確率の問題を空試行を考えて解く

【問１】

　下の図のような格子状の道がある。スタートの場所Ａから出発し，コインを投げて，表が出たら右へ 1 区画進み，裏が出たら上へ 1 区画進むとする。
ただし，右の端で表が出たときと，上の端で裏が出たときは動かないものとする。
　この試行を行なうとき、以下の問いに答えよ。
(1)　8 回コインを投げてもゴールＢに到達できない確率を求めよ。

　
この問題を自力で解いてください。その後で、ここをクリックした先に、この問題を「空試行を考えて解く解答」を書きましたので、参考のために、その解答も見てください。

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2022年3月8日火曜日

三角形の２辺と１つの角から残りの辺を求める

【問１】

上図の三角形ＡＢＣの長さｂを求めよ。

この問題の解答はここをクリックした先にあります。

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変な積分

（どの有理数のｘの位置でも微分不可能な連続関数）

　下図のグラフの関数は連続関数で、関数の極限が存在するが、でこぼこしていて、でこぼこがｘのあらゆる有理数にまで在り、どの有理数のｘの位置においても微分不可能な関数です。

　上図のグラフのよう微分不可能な位置（ｘ＝有理数の点）が無限にある関数であっても、その積分範囲で１つながりに連続な関数は、積分はできます。
元の関数が連続関数等の、関数の極限が存在する関数の場合は、その関数を積分した関数は微分可能な関数になります。
こうして、極限が存在して１つながりに連続な関数を積分して関数群を作れば、その関数群は皆、微分可能な関数であることが保証されます。

（どの様な関数ｆ（ｘ）を積分しても得られない連続関数Ｆ（ｘ））
　連続関数であり、かつ、あらゆるところで微分不可能な関数であるワイエルシュトラス関数等は、どのような関数ｆ（ｘ）を積分しても得ることができません。

（極限が存在しない点が無限にあり、積分不可能な関数）
　しかし、下のグラフの関数ｆ（ｘ）のように、どの位置においても関数の極限が存在しない関数もあり得ます。
　例えば、
ｘが有理数の場合にｆ（ｘ）＝０であって、
ｘが無理数の場合のｆ（ｘ）＝１
という、極限が存在しない関数ｆ（ｘ）などです。
（ｆ（ｘ） ≡ １－ディリクレ関数）

　そういう、極限が存在しない関数ｆ（ｘ）を積分して関数Ｆ（ｘ)を得た場合（もし積分できた場合）、その積分により得られた関数Ｆ（ｘ）は微分可能だろうか。
　そもそも、微分の計算は極限を求める計算なので、その関数ｆ（ｘ）が積分できても、その積分した関数Ｆ（ｘ）を微分した場合に、元の関数ｆ（ｘ）は（極限値が存在しないので）、微分によっては得られないと考えます。

　この関数ｆ（ｘ）の変数ｘ＝ｘ１からｘ＝ｘ２までの変数ｘの閉区間をｎ等分した小区間を作り、その小区間毎にｆ（ｘ）の値ｆ（ξ）を求めて、その値の和で積分します。
（１）その際に、変数ｘ＝ξが全て有理数なら、ｆ（ξ）＝０になり、積分結果は０になります。
（２）一方、変数ｘ＝ξが全て無理数√２の有理数倍なら、ｆ（ξ）＝１になり、積分結果は（ｘ２－ｘ１）になります。
（３）小区間内の点ξの取り方によってｆ（ξ）の和による積分結果が変わるような計算の値は定かでは無いので、その様な関数ｆ（ｘ）は積分することができません。
（但し、無理数は有理数の可付番無限大倍よりも多く圧倒的に多い無理数を優先して計算するルベーグ積分という定義もあります。）

（極限が存在しない点が無限にあり、積分可能な関数）

上図のノコギリ関数ｇ（ｘ）を使って以下の関数を作ります。

この関数ｆ（ｘ）は、以下のｘ座標で極限が存在しない。

その他、
ｘ＝奇数／（整数×２）
の点では極限値が存在しない。

しかし、この関数ｆ（ｘ）は積分できて、連続関数Ｇ（ｘ）が得られる。

積分結果の連続関数Ｇ（ｘ）は微分できるｘの値がある。
（関数Ｇ（ｘ）は、元の関数ｆ（ｘ）の極限が存在しない有理数のｘの値では、微分不可能です）
関数Ｇ（ｘ）の微分結果は、以下の関数ｇ２（ｘ）を使ってあらわすことができる。

微分結果のグラフは、以下のｆ_２（ｘ）のグラフになります。

ただし、このｆ_２（ｘ）のグラフは、関数ｆ_２（ｘ）の極限が存在しない有理数のｘの値では、このグラフｆ_２（ｘ）が不連続であり、かつ、グラフｆ_２（ｘ）の関数値が存在しない。
この関数ｆ_２（ｘ）は、連続で無い点では関数値が存在しないが、関数ｆ（ｘ）は、連続で無い点でも関数値が存在します。
その点で、関数ｆ_２（ｘ）が、積分以前の関数ｆ（ｘ）と異なっています。
しかしながら、「微分可能」な変数ｘの値での関数ｆ_２（ｘ）の値は積分以前の関数ｆ（ｘ）の値と同じになります。
おもしろいことに、この関数ｆ_２（ｘ）のグラフは、
ｘ＝無理数の位置で「連続」です。
そのｘの無理数の値から無限に小さい距離の近くにも有理数の値のｘの連続で無い点があるにもかかわらずです。

　このように、微分積分学では、あらゆる関数に微分積分を行う理論を作ろうとすると、いろいろな難しい問題があることがわかりました。
　積分前の関数ｆ（ｘ）と、微分前の関数Ｆ（ｘ）との、変数ｘの一部の定義域での微分積分のあり得る関係が以下の図であらわせます。

（上図で、関数ｆ_２（ｘ）は、除去可能な連続で無い点を除去した関数です。関数Ｆ（ｘ）は、関数Ｆ（ｘ）の連続で無い点を除いた変数ｘの範囲でｆ（ｘ）の不定積分であるとともに、ｆ_２（ｘ）の不定積分でもあります）
　このように、関数の連続で無い点がらみで、関数ｆ（ｘ）とＦ（ｘ）の間に難しい関係があることが分かりました。

　微分積分学で、難しい問題が生じない関数の範囲を把握して、その範囲内で微分積分の計算をすることで、応用上で微分積分を使い易くできます。
　そのため、使い易い関数として、極限が存在し、かつ、１つながりに連続な「連続関数」を主に扱う対象にし、また、「微分可能性」で関数の変数の定義域を制限して、微分積分を行う範囲を制限します。
（ただし、連続関数というｘの演算式が存在するわけでは無く、関数のグラフに連続で無い点が無い変数ｘの範囲を定義した定義域に制限して考える関数が連続関数と定義されます）
その範囲内で成り立つ法則を把握して、種々の公式を導き出して使うことで微分積分学を最大限に応用できるようになります。

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2022年3月6日日曜日

樹形図の基本ルール（その２）

樹形図の基本ルール：
《基本ルール》
(1)樹形図を横断する枝の総和（太さ）は常に一定。
(2)発生確率が同じ事象の樹形図の枝の太さは同じ。
(3)樹形図は、根元から枝先まで一定の太さの糸を根元側で束ねた、糸の集合でもある。１本の「糸」は、事象の連鎖の１つの場合を表す。
(4)樹形図の根から展開した複数の枝を書き、その先で、複数の枝をいったん節に束ねて糸の束を再編成して再度複数の枝（個々の枝は複数の糸の束で作る）に展開することもできる。
　樹形図の糸の束を、以下の例題のように解釈して問題を解くことができます。

【例題１】
　白球３個と赤球２個の入っている袋から、 1個ずつ順に、取り出した球はもとに戻さずに、３個の球を取り出した。３番目の球が赤球である確率を求めよ。

【解答】
　３個の白球と２個の赤球を合わせた５個の球１つ１つを対等な球であると区別して考える。球の色分けはその対等な球に追加した付加的な区別であると考える。
　そう考えると、その５個の球の各球を取り出す確からしさは、５つの球の番号に影響されずに同様に確からしい性質を持つ。そして、下図の樹形図（樹形図の一部のみを表す）が書ける。

上図の樹形図は、取り出した球はもとに戻さずに３個の球を順に取り出す場合を表す樹形図の糸の束の一部（１番目の球が赤球１の場合のみ）を表している。この樹形図の糸（事象の連鎖）の１本１本が同じ確からしさを持ち、どの糸の太さも同じになります。各糸（事象の連鎖）は、取り出す球の番号で示した数字の連鎖（例えば1 2 3）と等価である。それは、最小単位の「場合」を表し、その糸の総数が全ての「場合の数」を表す。
　この糸の１本の太さを１とすると、１番目に取り出す球が赤球１（球１）である糸の束の太さが４×３＝１２
になります。それは、１番目に取り出す球が赤球１（すなわち球１）である場合の数が１２であることを意味する。

上図の、樹形図の一部の表示では、３番目の球が赤球１（球１）の場合の糸（事象の連鎖）の束を表している。
　３番目に取り出す球が赤球１（球１）である場合の樹形図の糸の束の太さは、４×３＝１２になります。それは３番目に取り出す球が赤球１（球１）である（事象の連鎖の）場合の数が１２であることを意味する。
　この樹形図は、
３番目の束が赤球で束ねられる束の太さと、
白球で束ねられる束の太さと、
全ての束の太さ、
の比（場合の数の比）が
（２×４×３）：（３×４×３）：（５×４×３）
＝（２×１２）：（３×１２）：（５×１２）
＝２：３：５
になります。
よって、３番目の球が赤球である確率＝２／５になります。
（解答おわり）

　樹形図は、最細の糸という基本単位の糸を束ねて構成されます。
　「糸」の１つは、事象の連鎖であり、樹形図の根元から枝までひとつながりである糸です。その糸を具体的に表現する方法は、各試行毎の事象の番号の連鎖：各試行毎に取り出す球の番号の連鎖（1 2 3）であらわすことができます。
　３番目に球を取り出す事象を最初に考えて樹形図を解釈することは、３番目に球を取り出した球が何になるかの場合の数を求めて確率を計算することと等価です。
場合の数を使って確率を計算するならば、球を取り出す試行の順番に依存せずに確率を計算できます。
樹形図の糸を網羅して把握できる場合は、場合の数を使った計算と等価な計算ができるため、３番目に球を取り出す試行を最初の試行として計算しても正しい確率の値を計算することができます。
　この様に、樹形図の「糸」が貫く、１番目と２番目と３番目の各試行の結果の各事象のセットを、その各試行を順番通りに考えないでも、正しい確率の値を計算することができます。

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2022年2月27日日曜日

無理関数の式への因数分解の公式

【問題１】以下の等式(1)を証明せよ。

【問題１（ｂ）】以下の等式(１ｂ)を証明せよ。

【問題２】以下の等式(２)を証明せよ。

【問題３】以下の等式(３)を証明せよ。

【問題４】以下の等式(４)を証明せよ。

【問題５】以下の等式(５)を証明せよ。

この問題の解答はここをクリックした先のページにあります。

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